TRANSFORMADA DE LAPLACE
UNIVERSIDAD
LAICA ‘‘ELOY ALFARO’’ DE MANABÍ
FACULTAD: INGENIERÍA INDUSTRIAL
9 no ‘‘A’’
GRUPO # 8
INTEGRANTES:
- MACIAS DELGADO JEFFERSON ORLANDO
- RODRIGUEZ FLORES JHON LENON
- RAMIREZ GOMEZ PABLO JOSUE
TRANSFORMADA DE LAPLACE
La transformada de Laplace recibe
su nombre en honor al matemático francés Pierre Simón Marqués de Laplace, fue
un matemático y astrónomo francés tan famoso en su tiempo que se le conocía
como el Newton de Francia. Como estadístico sentó las bases de la teoría
analítica de la probabilidad; y como astrónomo planteo la teoría nebular sobre
la formación del sistema solar.
La transformada de Laplace puede
ser usada para resolver ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones
integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ecuación diferencial con
coeficientes variables.
Las operaciones tales como la diferenciación
y la integración se sustituyen mediante operaciones algebraicas en el plano
complejo.
Una de las ventajas del método de
la transformada de Laplace es que permite el uso de técnicas gráficas para
predecir el comportamiento del sistema.
Importancia
La Transformada de Laplace es muy
útil en el campo de los sistemas de control, automatización en procesos. En el
estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir,
modelos de comportamiento variable respecto al tiempo. Esto trae como
consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales para representar
matemáticamente el comportamiento de un proceso en el tiempo.
En comparación con los métodos
clásicos de solución de ecuaciones diferenciales, el método de Laplace se basa
en:
•
Las soluciones, tanto homogénea como particular
de las ecuaciones diferenciales, se obtienen en una sola operación matemática
•
La transformada de Laplace convierte la ecuación
diferencial en ecuaciones algebraicas con el operador s, por lo que es posible
manipular las mismas mediante las reglas básicas del álgebra para obtener la
solución, la cual se obtiene tomando la transformada inversa de Laplace.
Definición de
la transformada de laplace
Sea 
(t) una funcion continua en (0, ∞) la
transformada de Laplace de 
(t) es la funcion (s) definida mediante la integral:
DONDE:
f (t) es una funcion de
tiempo.
f (S) es la transformada de Laplace correspondiente.
(s) representa una nueva
variable, que para el proceso de integración se considera constante.
(t) es el tiempo.
Transformada de Laplace
La transformada de Laplace, L, es
un operador lineal que cambia una funcion de un dominio a otro:
En los sistemas de regulación automáticos
resulta fundamental conocer la repuesta ante una determinada entrada.
APLICACIÓN PARA EL
CONTROL DE PROCESOS
En muchos procesos de la vida diaria está involucrada la Transformada de Laplace, ya que, es una forma precisa y directa utilizada en el control de dichos procesos, como, por ejemplo: en el ámbito doméstico para controlar la temperatura y humedad de las casas y edificios; en la transportación para controlar que un automóvil o avión se muevan de un lugar a otro en forma segura y exacta y en la industria para controlar múltiples variables en los procesos de manufactura.
En el estudio de los procesos es
necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento
variable respecto al tiempo. Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones
diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento
de un proceso. El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza
puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de
comportamiento dinámico lineal:
La transformada de Laplace es una
herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos
lineales.
Una vez que se ha estudiado el
comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y
analizar los sistemas de control de manera simple.
Ejemplo de un modelo matemático
·
Supongamos que estamos estudiando un determinado
fenómeno.
·
Dicho modelo estará formado por una o varias
ecuaciones diferenciales con sus correspondientes condiciones iniciales y/o de
contorno.
·
El problema consiste en resolver dicho modelo matemático.
·
Es ahora cuando intervienen las transformadas
integrales, para transformar dicha ecuación diferencial en otra ecuación, la
cual va a resultar más fácil de resolver que la ecuación diferencial de
partida.
·
De esta forma transformamos nuestro problema
original complicado en un problema más sencillo.
·
Resolvemos el problema transformado y luego
calculamos la transformada inversa de la solución del problema transformado con
la esperanza, claro está, de que esta solución inversamente transformada sea la
solución de nuestro problema original.
De una manera más clara podemos resumir lo que estamos
diciendo en algo así.
Porque usamos la
transformada de Laplace?
·
La transformada se la utiliza para para
proporcionar de una manera más sencilla de resolver problemas que vienen de las
ciencias e ingenierías.
·
La transformada de Laplace existe si la integral
converge, en caso contrario se dice que la transformada de Laplace no existe.
Porque es importante
controlar un proceso?
·
Para incrementar la productividad
·
Mejorar la seguridad.
·
Para mejorar la calidad del producto.
·
Para reducir el tiempo de manufactura.
·
Para la certificación en mercados
internacionales.
Para poder diseñar un
sistema de control automático, se requiere.
·
Primero conocer el proceso que se desea
controlar, es decir, conocer la ecuación diferencial que describe su
comportamiento, utilizando las leyes físicas, químicas y eléctricas.
·
A la ecuación diferencial se le llama modelo del proceso.
·
Una vez que se tiene el modelo, se puede diseñar
el controlador.
Transformada de Laplace de funciones más usuales
Cálculo de transformadas mediante tabla.
Para el cálculo de transformadas
de Laplace de funciones es conveniente tener disponible una tabla con las
transformadas de las funciones más importantes. Con la ayuda de esta tabla, y
mediante las propiedades, podemos hallar la transformada de cualquier función
que se nos presente.
Propiedades y teoremas de la transformada de Laplace
Linealidad
La transformada de Laplace de una
constante por una función es igual a la constante multiplicada por la
transformada de Laplace de la función.
Propiedad
de traslación en s
La transformada de Laplace se convierte en un factor
exponencial en una traslación en la variable s. esta nos indica cuando el
proceso tiene un retraso en el tiempo.
Donde
Teorema
de la transformada de la derivada
Teorema de la transformada
de la integral
Teorema de la
integral de la transformada
Siempre y cuando exista
Teorema dela derivada
de la transformada
Transformada
de una funcion periódica
Si f(t) es una funcion periódica con periodo T:
Teorema
de la convolucion
Si (f * g) representan la convolucion
entre las funciones f y g entonces:
Transformada
de la función escalón
Si Ua (t) representa la función escalón entonces:
Transformada inversa de Laplace
Cada vez que en Matemáticas
definimos una operación, ésta siempre tiene definida su operación inversa, por
ejemplo, las operaciones más básicas que conocemos, tenemos: la suma y la
resta, el producto y el cociente, la derivada y la anti-derivada o integración,
etc.
Cuando aplicamos la transformada
de Laplace a una función f(t) obtenemos a F(s), la cual representa dicha
transformada. De igual manera podemos decir que f(t) es la transformada de
Laplace inversa de F(s) y se escribe como:
Al aplicar la transformada de
Laplace a una ecuación diferencial se convierte en una ecuación algebraica.
Tabla de la transformada inversa
Método de las fracciones simples
Transformada inversa de Laplace de funciones F (s)
racionales de la forma
Donde N(s) y D(s) son polinomios en la variable s
Pasos:
1.-Descomponer la fracción F(s) en fracciones simples
BIBLIOGRAFÍA
https://alumnocdoc.wixsite.com/ingprocesos/post/transformada-de-laplace
https://www.youtube.com/watch?v=8kEz2DSH9BA
https://es.khanacademy.org/math/differential-equations/laplace-transform
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